حداقل و حداکثر در ریاضی دهم

مفاهیم حداقل و حداکثر یک تابع که با عنوان اکسترمم های تابع نیز شناخته می شوند، از بنیادی ترین و کاربردی ترین مباحث در ریاضیات هستند. این مفاهیم، به شناسایی بزرگترین یا کوچکترین مقدار یک پدیده در یک محدوده مشخص کمک می کنند. در زندگی روزمره، یافتن حداکثر سود در یک فعالیت اقتصادی، حداقل هزینه برای تولید یک محصول، یا حداکثر مسافت طی شده توسط یک جسم پرتابی، همگی نمونه هایی از کاربرد این مفاهیم به شمار می روند. در درس ریاضی دهم، این مبحث به عنوان سنگ بنای تحلیل توابع و کاربردهای آن ها مطرح می شود.

آشنایی با مفهوم حداقل و حداکثر در ریاضیات

برای درک عمیق تر مبحث اکسترمم ها، ابتدا باید با تعاریف پایه و تفاوت های کلیدی بین انواع حداقل و حداکثر آشنا شویم. این مفاهیم نه تنها در ریاضی دهم، بلکه در شاخه های پیشرفته تر ریاضی نظیر حسابان نیز نقش محوری دارند و اساس تحلیل های بهینه سازی را تشکیل می دهند.

تعریف شهودی: حداقل و حداکثر یک تابع از روی نمودار

وقتی به نمودار یک تابع نگاه می کنیم، نقاطی وجود دارند که تابع در آن ها به اوج یا کف خود می رسد. نقطه اوج، جایی است که مقدار تابع در آن نقطه از تمامی نقاط مجاورش بیشتر است و نقطه کف، جایی است که مقدار تابع از تمامی نقاط مجاورش کمتر است. این نقاط به ترتیب، نقاط حداکثر و حداقل تابع نامیده می شوند. این دیدگاه شهودی، اساس درک اولیه اکسترمم ها را فراهم می آورد و به دانش آموزان کمک می کند تا پیش از ورود به تعاریف رسمی، تصویر ذهنی روشنی از این مفاهیم داشته باشند.

حداقل و حداکثر مطلق (Global Extremum)

حداقل مطلق (Global Minimum) یک تابع، کوچکترین مقداری است که تابع در کل دامنه خود به خود می گیرد. به عبارت دیگر، اگر برای هر x در دامنه تابع، داشته باشیم f(x) ≥ f(x₀)، آنگاه f(x₀) حداقل مطلق تابع است. به همین ترتیب، حداکثر مطلق (Global Maximum) بزرگترین مقداری است که تابع در کل دامنه خود می پذیرد. یعنی اگر برای هر x در دامنه تابع، داشته باشیم f(x) ≤ f(x₀)، آنگاه f(x₀) حداکثر مطلق تابع است.

ممکن است یک تابع حداقل مطلق داشته باشد اما حداکثر مطلق نداشته باشد (مانند y = x² که حداقل مطلق 0 دارد اما حداکثر ندارد) و بالعکس، یا هر دو را داشته باشد، یا هیچ کدام را. در توابعی که دامنه آن ها نامحدود است، معمولاً تنها یک نوع اکسترمم مطلق وجود دارد، مگر اینکه تابع به گونه ای خاص رفتار کند.

حداقل و حداکثر نسبی (Local/Relative Extremum)

حداقل نسبی (Local Minimum) یک تابع، مقداری است که تابع در یک همسایگی کوچک از یک نقطه، از تمامی نقاط اطرافش کمتر است. به بیان دقیق تر، اگر در یک بازه کوچک حول x₀، داشته باشیم f(x) ≥ f(x₀)، آنگاه f(x₀) یک حداقل نسبی است. مشابه این، حداکثر نسبی (Local Maximum) مقداری است که تابع در یک همسایگی کوچک از یک نقطه، از تمامی نقاط اطرافش بیشتر است. یعنی اگر در یک بازه کوچک حول x₀، داشته باشیم f(x) ≤ f(x₀)، آنگاه f(x₀) یک حداکثر نسبی است.

یک تابع می تواند چندین حداقل نسبی و چندین حداکثر نسبی داشته باشد. به عنوان مثال، در نمودار یک تابع با فراز و نشیب های متعدد، هر قله یک حداکثر نسبی و هر دره یک حداقل نسبی محسوب می شود. این نقاط نشان دهنده تغییر جهت رشد یا کاهش تابع هستند.

تفاوت کلیدی بین اکسترمم مطلق و نسبی

درک تمایز بین اکسترمم های مطلق و نسبی برای تحلیل دقیق توابع ضروری است. در حالی که اکسترمم های نسبی به رفتار تابع در نواحی کوچک محلی اشاره دارند، اکسترمم های مطلق بیانگر مقادیر نهایی و سرتاسری تابع در کل دامنه آن هستند. یک نکته مهم این است که هر اکسترمم مطلق، در صورت وجود، لزوماً یک اکسترمم نسبی نیز هست، اما عکس این قضیه همیشه صادق نیست؛ یعنی یک اکسترمم نسبی ممکن است بزرگترین یا کوچکترین مقدار تابع در کل دامنه نباشد.

ویژگی	حداقل/حداکثر مطلق (Global)	حداقل/حداکثر نسبی (Local/Relative)
دامنه بررسی	کل دامنه تعریف تابع	یک همسایگی کوچک حول نقطه
تعداد	حداکثر یک حداقل مطلق و یک حداکثر مطلق	می تواند چندین نقطه باشد
رابطه با یکدیگر	اگر وجود داشته باشد، می تواند همزمان نسبی هم باشد.	ممکن است مطلق نباشد.
نمودار	بالاترین/پایین ترین نقطه کلی نمودار	قله ها و دره های محلی نمودار

یافتن حداقل و حداکثر توابع درجه دوم (سهمی ها)

توابع درجه دوم یکی از مهم ترین انواع توابع در ریاضی دهم هستند و نمودار آن ها به شکل یک سهمی است. یافتن حداقل و حداکثر برای این توابع از اهمیت ویژه ای برخوردار است، زیرا راس سهمی نقش کلیدی در تعیین این اکسترمم ها ایفا می کند.

مروری بر توابع درجه دوم و نمودار سهمی

شکل کلی یک تابع درجه دوم به صورت y = ax² + bx + c است که در آن a، b و c اعداد حقیقی و a ≠ 0 هستند. نمودار این توابع، سهمی نامیده می شود. جهت باز شدن دهانه سهمی به ضریب a بستگی دارد:

• اگر a > 0 باشد، دهانه سهمی رو به بالاست.
• اگر a < 0 باشد، دهانه سهمی رو به پایین است.

راس سهمی، نقطه ای است که سهمی در آن تغییر جهت می دهد و در واقع نقطه اکسترمم تابع درجه دوم محسوب می شود. این نقطه یا پایین ترین نقطه سهمی (حداقل) است یا بالاترین نقطه آن (حداکثر).

روش های پیدا کردن راس سهمی

برای یافتن مختصات راس سهمی، دو روش اصلی وجود دارد که در ادامه به تفصیل توضیح داده می شوند:

الف) استفاده از فرمول

ساده ترین و رایج ترین روش برای یافتن مختصات راس سهمی، استفاده از فرمول های مشخص است. مختصات x راس سهمی با فرمول x = -b/2a به دست می آید. پس از یافتن مقدار x، کافی است آن را در تابع اصلی جایگذاری کنیم تا مختصات y راس سهمی (که همان مقدار حداقل یا حداکثر تابع است) را به دست آوریم: y = f(-b/2a).

ب) روش مربع کامل کردن

این روش شامل تبدیل شکل عمومی تابع درجه دوم به فرم استاندارد یا راس سهمی است: y = a(x – h)² + k. در این فرم، مختصات راس سهمی (h, k) است. مزیت این روش، نمایش مستقیم مختصات راس و همچنین درک بهتر از نحوه رفتار تابع است. برای تبدیل، کافی است مراحل مربع کامل کردن را به دقت دنبال کنیم. به عنوان مثال، برای تابع f(x) = ax² + bx + c، ابتدا a را از دو جمله اول فاکتور می گیریم، سپس عبارت داخل پرانتز را به مربع کامل تبدیل می کنیم و باقی مانده را بیرون پرانتز می نویسیم.

تعیین حداقل یا حداکثر از روی راس سهمی

پس از یافتن مختصات راس سهمی، می توانیم به راحتی تعیین کنیم که آیا این نقطه، بیانگر حداقل تابع است یا حداکثر آن. این امر کاملاً به جهت باز شدن دهانه سهمی بستگی دارد:

• اگر a > 0 باشد (دهانه سهمی رو به بالا)، راس سهمی پایین ترین نقطه سهمی است. در این حالت، تابع در این نقطه به حداقل مطلق خود می رسد و مقدار حداکثری ندارد (به سمت بی نهایت مثبت می رود).
• اگر a < 0 باشد (دهانه سهمی رو به پایین)، راس سهمی بالاترین نقطه سهمی است. در این حالت، تابع در این نقطه به حداکثر مطلق خود می رسد و مقدار حداقلی ندارد (به سمت بی نهایت منفی می رود).

راس سهمی تنها نقطه اکسترمم برای یک تابع درجه دوم است و می تواند بیانگر حداقل مطلق یا حداکثر مطلق تابع باشد، بسته به ضریب a.

مثال های حل شده تفصیلی

مثال 1: پیدا کردن حداقل تابع f(x) = 2x² – 8x + 6

در این تابع، a = 2، b = -8 و c = 6. چون a = 2 > 0، دهانه سهمی رو به بالاست و تابع دارای حداقل مطلق است.

1. روش فرمول:
   • مختصات x راس: x = -b / 2a = -(-8) / (2 * 2) = 8 / 4 = 2.
   • مختصات y راس: y = f(2) = 2(2)² – 8(2) + 6 = 2(4) – 16 + 6 = 8 – 16 + 6 = -2.

   بنابراین، نقطه حداقل تابع (2, -2) است و حداقل مقدار تابع y = -2 می باشد.

2. روش مربع کامل کردن:
   • f(x) = 2x² – 8x + 6
   • f(x) = 2(x² – 4x) + 6
   • برای مربع کامل کردن x² – 4x، نصف ضریب x یعنی (-4/2 = -2) را مربع می کنیم ((-2)² = 4) و اضافه و کم می کنیم:
   • f(x) = 2(x² – 4x + 4 – 4) + 6
   • f(x) = 2((x – 2)² – 4) + 6
   • f(x) = 2(x – 2)² – 8 + 6
   • f(x) = 2(x – 2)² – 2

   از این فرم، h = 2 و k = -2، پس راس سهمی (2, -2) است و حداقل مقدار تابع y = -2 می باشد.

مثال 2: پیدا کردن حداکثر تابع g(x) = -x² – 4x + 12

در این تابع، a = -1، b = -4 و c = 12. چون a = -1 < 0، دهانه سهمی رو به پایین است و تابع دارای حداکثر مطلق است.

1. روش فرمول:
   • مختصات x راس: x = -b / 2a = -(-4) / (2 * -1) = 4 / -2 = -2.
   • مختصات y راس: y = g(-2) = -(-2)² – 4(-2) + 12 = -(4) + 8 + 12 = -4 + 8 + 12 = 16.

   بنابراین، نقطه حداکثر تابع (-2, 16) است و حداکثر مقدار تابع y = 16 می باشد.

2. روش مربع کامل کردن:
   • g(x) = -x² – 4x + 12
   • g(x) = -(x² + 4x) + 12
   • برای مربع کامل کردن x² + 4x، نصف ضریب x یعنی (4/2 = 2) را مربع می کنیم (2² = 4) و اضافه و کم می کنیم:
   • g(x) = -(x² + 4x + 4 – 4) + 12
   • g(x) = -((x + 2)² – 4) + 12
   • g(x) = -(x + 2)² + 4 + 12
   • g(x) = -(x + 2)² + 16

   از این فرم، h = -2 و k = 16، پس راس سهمی (-2, 16) است و حداکثر مقدار تابع y = 16 می باشد.

حداقل و حداکثر توابع در بازه های مشخص

گاهی اوقات لازم است حداقل و حداکثر یک تابع را نه در کل دامنه آن، بلکه در یک بازه خاص و محدود تعیین کنیم. این وضعیت در مسائل کاربردی و بهینه سازی بسیار رایج است، جایی که متغیرهای مورد بررسی در یک محدوده مشخص قرار دارند.

مفهوم بازه بسته و اهمیت نقاط انتهایی

یک بازه بسته به صورت [a, b] نشان داده می شود، که شامل نقاط a و b و تمام اعداد بین آن هاست. وقتی به دنبال حداقل و حداکثر یک تابع در چنین بازه ای هستیم، علاوه بر بررسی نقاط اکسترمم داخلی (نسبی) که ممکن است در این بازه وجود داشته باشند، باید مقادیر تابع را در نقاط انتهایی بازه یعنی x = a و x = b نیز محاسبه کنیم. این نقاط انتهایی می توانند نقش مهمی در تعیین حداقل مطلق یا حداکثر مطلق تابع در آن بازه ایفا کنند، حتی اگر در داخل بازه نقطه اکسترمم دیگری وجود نداشته باشد.

مراحل یافتن حداقل و حداکثر تابع روی یک بازه بسته [a, b]

برای یافتن حداقل و حداکثر مطلق یک تابع در یک بازه بسته، لازم است سه مرحله زیر را به ترتیب انجام دهیم:

1. پیدا کردن اکسترمم های نسبی تابع در داخل بازه: در توابع درجه دوم، این به معنای یافتن راس سهمی و بررسی اینکه آیا مختصات x آن در داخل بازه (a, b) قرار دارد یا خیر. اگر راس سهمی در داخل بازه قرار داشت، مقدار تابع در آن نقطه را محاسبه و ثبت می کنیم.
2. محاسبه مقدار تابع در نقاط انتهایی بازه: مقادیر f(a) و f(b) را محاسبه می کنیم. این دو نقطه می توانند کاندیداهای بالقوه برای اکسترمم های مطلق در بازه بسته باشند.
3. مقایسه تمامی مقادیر بدست آمده: در نهایت، تمامی مقادیری که در مراحل 1 و 2 به دست آورده ایم (شامل مقادیر تابع در اکسترمم های نسبی داخلی و مقادیر تابع در نقاط انتهایی بازه) را با یکدیگر مقایسه می کنیم. بزرگترین مقدار یافت شده، حداکثر مطلق تابع در بازه [a, b] و کوچکترین مقدار، حداقل مطلق تابع در این بازه خواهد بود.

برای یافتن اکسترمم مطلق در بازه بسته، مقایسه مقادیر تابع در نقاط بحرانی داخلی و نقاط انتهایی بازه ضروری است.

مثال های حل شده

مثال 1: حداقل و حداکثر تابع f(x) = x² – 6x + 5 روی بازه [0, 4]

ابتدا راس سهمی را پیدا می کنیم:

• a = 1، b = -6.
• مختصات x راس: x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.
• چون 3 در بازه [0, 4] قرار دارد، مقدار f(3) را محاسبه می کنیم:
• f(3) = (3)² – 6(3) + 5 = 9 – 18 + 5 = -4.

سپس مقادیر تابع را در نقاط انتهایی بازه محاسبه می کنیم:

• f(0) = (0)² – 6(0) + 5 = 5.
• f(4) = (4)² – 6(4) + 5 = 16 – 24 + 5 = -3.

مقادیر بدست آمده: -4, 5, -3.

با مقایسه این مقادیر:

• حداقل مطلق: -4 (در x = 3)
• حداکثر مطلق: 5 (در x = 0)

مثال 2: حداقل و حداکثر تابع g(x) = -2x² + 4x + 3 روی بازه [-1, 2]

ابتدا راس سهمی را پیدا می کنیم:

• a = -2، b = 4.
• مختصات x راس: x = -4 / (2 * -2) = -4 / -4 = 1.
• چون 1 در بازه [-1, 2] قرار دارد، مقدار g(1) را محاسبه می کنیم:
• g(1) = -2(1)² + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5.

سپس مقادیر تابع را در نقاط انتهایی بازه محاسبه می کنیم:

• g(-1) = -2(-1)² + 4(-1) + 3 = -2(1) – 4 + 3 = -2 – 4 + 3 = -3.
• g(2) = -2(2)² + 4(2) + 3 = -2(4) + 8 + 3 = -8 + 8 + 3 = 3.

مقادیر بدست آمده: 5, -3, 3.

با مقایسه این مقادیر:

• حداقل مطلق: -3 (در x = -1)
• حداکثر مطلق: 5 (در x = 1)

کاربرد حداقل و حداکثر: مسائل بهینه سازی ساده

یکی از هیجان انگیزترین و کاربردی ترین جنبه های مفاهیم حداقل و حداکثر، استفاده از آن ها در حل مسائل بهینه سازی است. این مسائل به ما کمک می کنند تا بهترین تصمیم را در شرایطی بگیریم که به دنبال حداکثر کردن سود، حداقل کردن هزینه، یا یافتن بهینه ترین شرایط برای یک وضعیت خاص هستیم.

مقدمه بر مسائل بهینه سازی

مسائل بهینه سازی در واقع به دنبال یافتن مقدار x یا متغیری هستند که یک تابع خاص (تابع هدف) را به حداقل یا حداکثر برساند. این تابع هدف، معمولاً بیانگر یک کمیت اقتصادی، فیزیکی یا هندسی است که می خواهیم آن را بهینه کنیم. به عنوان مثال، یک شرکت تولیدی ممکن است بخواهد تابع هزینه تولید خود را به حداقل برساند، یا یک مهندس بخواهد مساحت یک سازه را با حداقل مصالح به حداکثر برساند. توانایی مدل سازی این مسائل و حل آن ها، یکی از مهارت های کلیدی است که با تسلط بر مبحث اکسترمم ها به دست می آید.

گام های حل مسائل بهینه سازی ساده

برای حل مسائل بهینه سازی که با توابع درجه دوم سروکار دارند، می توانیم از یک رویکرد نظام مند پیروی کنیم:

1. مدل سازی مسئله: اولین و مهم ترین گام، تبدیل اطلاعات کلامی مسئله به یک تابع ریاضی است. باید متغیرها را شناسایی کرده و رابطه ای را که قرار است بهینه شود (مثل مساحت، حجم، سود، هزینه) به صورت تابعی از یک یا چند متغیر بیان کنیم. در ریاضی دهم، معمولاً می توان تابع را به یک تابع درجه دوم از یک متغیر تبدیل کرد.
2. تعیین دامنه (محدوده) مناسب برای متغیر: برای بسیاری از مسائل کاربردی، متغیرها محدودیت های طبیعی دارند (مثلاً طول نمی تواند منفی باشد). این محدودیت ها یک بازه برای متغیر اصلی ایجاد می کنند که یافتن حداقل و حداکثر در آن بازه انجام می شود.
3. یافتن حداقل یا حداکثر تابع: با استفاده از روش های آموخته شده برای توابع درجه دوم (فرمول راس سهمی یا مربع کامل کردن)، اکسترمم تابع را در دامنه مشخص شده پیدا می کنیم. اگر دامنه بازه بسته باشد، باید نقاط انتهایی را نیز در نظر بگیریم.
4. تفسیر پاسخ در زمینه مسئله: پس از یافتن مقدار حداقل یا حداکثر تابع و مقدار متغیر مربوط به آن، باید پاسخ را در چارچوب مسئله اصلی تفسیر کنیم. مثلاً اگر حداکثر مساحت را پیدا کرده ایم، باید ابعاد مستطیل را که به آن مساحت منجر می شود، نیز بیان کنیم.

مثال های کاربردی و واقعی حل شده

مثال 1: حداکثر مساحت یک زمین مستطیلی با محیط ثابت (مثلاً 100 متر سیم)

فرض کنید می خواهیم با 100 متر سیم، یک زمین مستطیلی شکل با حداکثر مساحت بسازیم.

• گام 1: مدل سازی مسئله

  فرض کنید طول مستطیل x و عرض آن y باشد. محیط مستطیل P = 2x + 2y است. مساحت مستطیل A = xy است.

  ما می دانیم P = 100، پس 2x + 2y = 100، که ساده می شود به x + y = 50. از اینجا می توانیم y را بر حسب x بنویسیم: y = 50 – x.

  حالا y را در فرمول مساحت جایگزین می کنیم تا تابع مساحت بر حسب یک متغیر شود:

  
  A(x) = x(50 - x)
  A(x) = 50x - x^2
        

  این یک تابع درجه دوم است.

• گام 2: تعیین دامنه

  طول x باید مثبت باشد، یعنی x > 0. همچنین، عرض y = 50 – x نیز باید مثبت باشد، یعنی 50 – x > 0 که نتیجه می دهد x < 50. پس دامنه (0, 50) است. در واقع برای مسائل عملی [0, 50] را در نظر می گیریم.

• گام 3: یافتن حداکثر تابع

  برای تابع A(x) = -x² + 50x، داریم a = -1، b = 50. چون a < 0، تابع دارای حداکثر است.

  مختصات x راس: x = -b / 2a = -50 / (2 * -1) = -50 / -2 = 25.

  این x = 25 در بازه [0, 50] قرار دارد. حداکثر مساحت در این نقطه به دست می آید:

  
  A(25) = 50(25) - (25)^2 = 1250 - 625 = 625
        

• گام 4: تفسیر پاسخ

  حداکثر مساحت 625 متر مربع است. این مساحت زمانی به دست می آید که طول x = 25 متر باشد. حال عرض را پیدا می کنیم: y = 50 – x = 50 – 25 = 25 متر.

  نتیجه این است که برای حداکثر کردن مساحت یک مستطیل با محیط ثابت، شکل آن باید مربع باشد.

نکات مهم، دام های متداول و خلاصه ای برای یادگیری بهتر

برای تسلط بر مفاهیم حداقل و حداکثر، توجه به جزئیات و پرهیز از خطاهای رایج اهمیت دارد. برخی نکات کلیدی وجود دارند که می توانند در درک بهتر و حل دقیق تر مسائل به شما کمک کنند.

تأکید مجدد بر تفاوت اکسترمم مطلق و نسبی، یکی از اساسی ترین مباحث این فصل است. در حالی که نقاط نسبی به قله ها و دره های محلی نمودار اشاره دارند، نقاط مطلق نمایانگر بالاترین یا پایین ترین نقطه کل نمودار در دامنه مشخص شده هستند. عدم تمایز صحیح بین این دو مفهوم، می تواند منجر به اشتباه در تحلیل مسائل شود.

اهمیت توجه به بازه تعریف شده برای تابع را نباید نادیده گرفت. بسیاری از خطاهای دانش آموزان در مسائل حداقل و حداکثر، به دلیل نادیده گرفتن نقاط انتهایی بازه در هنگام جستجوی اکسترمم های مطلق در یک بازه بسته است. همواره به خاطر داشته باشید که مقدار تابع در نقاط ابتدایی و انتهایی بازه نیز باید به عنوان کاندیداهای اکسترمم مطلق بررسی شوند.

خطاهای رایج دانش آموزان اغلب شامل موارد زیر است:

• فراموش کردن بررسی نقاط انتهایی بازه در مسائل با دامنه محدود.
• اشتباه در محاسبه مختصات راس سهمی، به ویژه در مورد علامت b و a.
• عدم تشخیص صحیح اینکه راس سهمی نشان دهنده حداقل است یا حداکثر.
• مشکل در مدل سازی صحیح مسائل بهینه سازی و تبدیل آن ها به تابع درجه دوم.

توصیه می شود که همواره در صورت امکان، نمودار تابع را رسم کنید یا حداقل آن را در ذهن تجسم کنید. رسم نمودار، به درک بصری از رفتار تابع و شناسایی تقریبی نقاط اکسترمم کمک شایانی می کند و می تواند در تأیید محاسبات شما نیز مفید باشد.

در نهایت، برای جمع بندی، جدول خلاصه ای از روش های یافتن اکسترمم ها ارائه می شود که می تواند به عنوان یک مرجع سریع برای مرور مطالب استفاده شود:

نوع اکسترمم	روش یافتن (برای توابع درجه دوم)	نکات کلیدی
حداقل/حداکثر مطلق (کل دامنه)	مختصات راس سهمی (-b/2a, f(-b/2a))	اگر a>0: راس = حداقل مطلق؛ اگر a<0: راس = حداکثر مطلق. (فقط یک نوع اکسترمم مطلق در کل دامنه وجود دارد)
حداقل/حداکثر مطلق (بازه بسته [a, b])	یافتن راس سهمی و بررسی قرارگیری آن در بازه. محاسبه f(a) و f(b). مقایسه تمام مقادیر بدست آمده.	بزرگترین مقدار = حداکثر مطلق؛ کوچکترین مقدار = حداقل مطلق. (نقاط انتهایی نقش حیاتی دارند)

سوالات متداول

فرق حداقل مطلق و حداقل نسبی چیست؟

حداقل مطلق (Global Minimum) کوچکترین مقدار تابع در کل دامنه تعریف آن است، در حالی که حداقل نسبی (Local Minimum) کوچکترین مقدار تابع در یک همسایگی کوچک از یک نقطه خاص (مانند یک دره کوچک در نمودار) است. یک تابع می تواند چندین حداقل نسبی داشته باشد، اما حداکثر یک حداقل مطلق می تواند داشته باشد.

چگونه می توان حداقل یک تابع درجه دوم را پیدا کرد؟

برای یافتن حداقل یک تابع درجه دوم y = ax² + bx + c، ابتدا باید مطمئن شوید که ضریب a مثبت باشد (a > 0)؛ در این صورت دهانه سهمی رو به بالاست و دارای حداقل است. سپس مختصات x راس سهمی را با فرمول x = -b/2a پیدا کنید و مقدار x به دست آمده را در تابع اصلی جایگذاری کنید تا مقدار حداقل y را به دست آورید.

آیا هر تابعی حتماً حداقل و حداکثر دارد؟

خیر، هر تابعی لزوماً حداقل و حداکثر (مطلق) ندارد. به عنوان مثال، تابع y = x نه حداقل مطلق دارد و نه حداکثر مطلق. توابع درجه دوم نیز تنها یک نوع اکسترمم مطلق (حداقل یا حداکثر) دارند. اما یک تابع پیوسته روی یک بازه بسته حتماً حداقل و حداکثر مطلق دارد.

منظور از راس سهمی در مبحث حداقل و حداکثر چیست؟

راس سهمی در یک تابع درجه دوم، نقطه ای است که سهمی در آن تغییر جهت می دهد. این نقطه، تنها نقطه اکسترمم (حداقل یا حداکثر) تابع درجه دوم در کل دامنه آن است. اگر دهانه سهمی رو به بالا باشد، راس سهمی نشان دهنده حداقل مطلق تابع است و اگر دهانه رو به پایین باشد، راس سهمی بیانگر حداکثر مطلق تابع است.

چرا در برخی مسائل بهینه سازی از توابع درجه دوم استفاده می شود؟

توابع درجه دوم به دلیل شکل نمودار سهمی شان که یک نقطه اکسترمم منحصر به فرد (راس) دارند، برای مدل سازی بسیاری از مسائل بهینه سازی ساده مناسب هستند. این توابع به ما امکان می دهند تا به راحتی مقدار بهینه (حداقل یا حداکثر) یک کمیت را در شرایط خاص پیدا کنیم، مانند مسائل مربوط به حداکثر کردن مساحت یا حداقل کردن هزینه.